Forme canonique

Propriété 
Soit \(a\)   ,  \(b\) ,  \(c\)  trois réels,  \(a\)  non nul et \(f\) la fonction polynôme du second degré définie sur  \(\mathbb{R}\)  par  `f(x) = ax^2 + bx + c` . Il existe deux réels   `\alpha` et `\beta` tels que, pour tout \(x\) dans \(\mathbb R\) , \(f(x)\) s'écrit de façon unique `f(x) = a (x-\alpha)^2 + \beta` .

Définition
L'expression donnée à la propriété précédente s'appelle la forme canonique de la fonction polynôme du second degré \(f\) .

Propriété  (hors programme)
`(\alpha ;\beta)` sont les coordonnées de l'extremum de la parabole représentative de la fonction polynôme du second degré et on a  \(\alpha = -\dfrac{b}{2 a}\)  et  \(\beta = f(\alpha) = -\dfrac{\Delta}{4a}\) . 

Propriété  Tableau de variations
Le tableau de variations d'une fonction polynôme du second degré dépend du signe de \(a\)  :

     Si    \(a<0\)                                            

     Si    \(a>0\)                                                   

Remarque
Si  `\Delta > 0` ,  `\alpha`  est la moyenne arithmétique des deux racines  `x_1`  et  `x_2`  de la fonction polynôme du second degré.
Si  `\Delta = 0` ,  `\alpha`  est la racine double  `x_0` de la fonction et, dans ce cas, `\beta` est nul.

Exemples
1. On considère la fonction  \(f\)  définie sur  \(\mathbb{R}\)  par  `f(x) = 8(x - 1)^2 + 3` .
Ici,  \(a = 8\) ,  \(\alpha = 1\)  et  \(\beta = 3\) .
2. On considère la fonction  \(g\)  définie sur  \(\mathbb{R}\)  par  `g(x) = (x-1,2)^2 - 4,5` .
Ici,  \(a = 1\) ,  \(\alpha = 1,2\)  et  \(\beta = -4,5\) .
3. On considère la fonction  \(h\)  définie sur  \(\mathbb{R}\)  par  `h(x) = -5(x+2)^2` .
Ici,  \(a = -5\) ,  \(\alpha = -2\)  et  \(\beta = 0\) .
On remarque qu'il s'agit également d'une forme factorisée avec  \(a = -5\)  et  \(x_0 = -2\) .
4. On considère la fonction  \(i\)  définie sur  \(\mathbb{R}\)  par  `i(x) = sqrt 2 x^2 - 25` .
Ici,  \(a = \sqrt 2\) ,  \(\alpha = 0\)  et  \(\beta =-25\) .
On remarque qu'il s'agit également de sa forme développée avec  \(a = \sqrt 2\) ,  \(b = 0\)  et  \(c =-25\) . 
5. La fonction carrée  `j(x) = x^2`  définie sur  \(\mathbb{R}\)  est sous forme canonique avec  \(a=1\) ,     \(\alpha = 0\)  et  \(\beta = 0\) .
6. La fonction du second degré telle que  \(a = -3\) , dont le sommet de la parabole associée a pour coordonnées  \(( -8 ; 2)\) , a pour expression  \(k(x) = -3 (x +8 )^2+2\) .